3장 부울 대수 (계속)

1. 곱셈 전개와 인수화 식

1.1 곱의 합 구하기

곱의 합은 분배법칙을 사용한 곱셈전개로 구할 수 있다.

• X(Y + Z) = XY + XZ
• (X + Y)(X + Z) = X + YZ
• (X + Y)(X` + Z) = XZ + X`Y

 

1.2 합의 곱 구하기

합의 곱은 분배법칙을 사용한 인수화로 구할 수 있다.

• AB + AC = (A + C)(A + B)

 

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2. 배타적 OR (exclusive-OR, XOR)과 등가 연산

2.1 XOR 기본

배타적 OR 연산은 다음과 같이 정의된다.

즉, 두 변수가 같으면 0 이고 다르면 1 이다.

• X ⊕ Y = X`Y + XY`

 

2.2 XOR 정리

• X ⊕ 0 = X
• X ⊕ 1 = X`
• X ⊕ X = 0
• X ⊕ X` = 1
• X ⊕ Y = Y ⊕ X ( 교환 법칙)
• (X ⊕ Y) ⊕ Z = X ⊕ (Y ⊕ Z) = X ⊕ Y ⊕ Z ( 결합 법칙 )
• X(Y ⊕ Z) = XY ⊕ XZ ( 분배 법칙)
• (X ⊕ Y)` = X ⊕ Y` = X` ⊕ Y = XY + X`Y`

 

2.3 등가 연산 (equivalence operation, XNOR)

두 변수의 값이 같으면 1 다르면 0을 반환한다.

즉, XOR의 부정 연산이다.

 

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3. 합의 정리(Consensus Theorem)

논리곱과 논리합을 이용하여 특정항을 제거할 수 있는 규칙

한쪽 항에는 한 변수가, 다른 쪽 항에는 그 변수의 보수가 있는 두 개의 항이 주어졌을 때

합의항은 그 변수와 그 변수의 보수를 제외한 항을 곱해서 얻을 수 있다.

3.1 곱의 합 형태

• AB + A`C + BC = AB + AC → ( BC 항이 불필요 )

 

3.2 합의 곱 형태

• (A + B)(A + C)(B + C) = (A + B)(A + C) → ( B + C 항이 불필요 )

 

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4. 스위칭 식의 대수적 간략화

4.1 항들의 조합

공통된 항을 묶는 방법 ( XY + XY` = X 이용 )

• AB + AB` = A(B + B) = A

 

4.2 항들의 소거

어떤 항이 다른 항에 포함되면, 포함된 항을 제거할 수 있다. ( X + XY = X 이용 )

• AB + ABC = A`B
• ABC + BCD + ABD = ABC` + BCD

 

4.3 문자들의 소거

특정 변수를 제거하여 식을 단순화 ( X + X`Y = X + Y 이용 )

• AB + ABCD + ABCD

== A(B + BCD) + ABCD`

== A(B + CD) + ABCD

== B(A + ACD) + ACD`

== B(A + CD) + ACD`

== AB + BCD + ACD`

 

4.4 중복항 추가

일부 항을 추가하여 식을 재구성

• WX + XY + XZ + WYZ + (WZ`) → 추가

== WX + XY + XZ + WYZ + WZ (WYZ`를 소거)

== WX + XY + XZ + WZ ( WZ 소거)

== WX + XY + XZ