1. 서론
부울 대수에서는 0과 1을 사용하는데 보통
1 = True
0 = False 이다.
2. 기본 연산
보통 AND, OR, NOT 연산이 존재한다.
2.1 NOT 연산 (논리 부정)
“ ` “ 은 보수를 의미한다.
즉, 1 은 0으로, 0 은 1로 바뀐다.
X가 스위칭 변수라면 x = 0 일 때 x’ = 1 이다.
2.2 AND 연산 (논리곱)
AND 연산의 진리표는 다음과 같다.
보통 기호로는 • 을 사용하고 그림으로 표현하면 밑의 그림과 같다.
AND 연산은 논리 곱셈으로 불린다.
2.3 OR 연산 (논리 합)
OR 연산의 진리표는 다음과 같다.
보통 기호로는 + 를 사용하고 그림으로 표현하면 밑의 그림과 같다.
OR 연산은 논리 합으로 불린다.
3. 부울식과 진리표
논리 연산의 결과를 요약하여 나타낸 표이다.
각각의 가능한 입력 조합에 대해 해당하는 출력을 나열한다.
ex) AND 연산 진리표
연산을 수행할 때 순서가 지정될 필요가 있다면 괄호를 사용한다.
또한, 괄호가 없다면 보수화가 먼저 진행되고, AND, OR이 수행된다.
n개 변수를 가진 식에서 각 변수가 0 OR 1을 가진다면, 변수들의 서로 다른 조합의 개수는 2^n 이다.
4. 기본 정리
4.1 0과 1의 연산
- X + 0 = X, X ⋅ 1 = X
- X + 1 = 1, X ⋅ 0 = 0
4.2 멱등 법칙
같은 값을 여러 번 연산해도 결과가 변하지 않음
4.3 대합 법칙
값과 그 보수의 연산 결과를 나타낸다.
- (X)` = X
4.4 보수 법칙
논리 값의 보수에 대한 성질을 나타낸다.
5. 교환, 결합, 분배, 드모르간 법칙
5.1 교환 법칙
연산의 순서가 결과에 영향을 주지 않는다.
- X + Y = Y + X
- XY = YX
5.2 결합 법칙
연산의 그룹화가 결과에 영향을 주지 않는다.
- ( X + Y ) + Z = X + ( Y + Z ) = X + Y + Z
- (XY)Z = X(YZ) = XYZ
5.3 분배 법칙
하나의 연산이 다른 연산에 대해 분배되는 것을 의미한다.
- X(Y + Z) = XY + XZ
- X + YZ = (X + Y)(X + Z)
5.4 드모르간 법칙
- (X + Y) = XY`
- (XY) = X + Y`
6. 간략화 정리
6.1 연합
- XY + XY` = X
- (X + Y)(X + Y`) = X
6.2 흡수
- X + XY = X
- X(X + Y) = X
6.3 소거
- X + X`Y = X + Y
- X(X` + Y) = XY
6.4 합의
- XY + XZ + YZ = XY + XZ
- (X + Y)(X + Z)(Y + Z) = (X + Z)(X + Z)
6.5 곱셈전개와 인수화 정리
- (X + Y)(X + Z) = XZ + XY
- XY + XZ = (X + Z)(X + Y)
7. 곱셈 전개의 인수화
7.1 곱의합 (sum-of-products, SOP)
여러 개의 논리곱(AND 연산)의 결과들을 논리합(OR)연산으로 결합한 형태
즉, 합으로 이루어진 식이다.
ex) AB + CDE + AC`E
7.2 합의곱 (product-of-sums, POS)
여러 개의 논리합(OR 연산)의 결과들을 논리곱(AND 연산)으로 결합한 형태
즉, 곱으로 이루어진 식이다.
ex) (A + B)(C + D + E)(A + C + E)
== (A + B)(C + D + E) F
== ABC(D + E)
8. 부울식 보수화
부울식의 반전 및 보수는 드모르간 법칙을 적용하면 된다.
'School > 논리회로' 카테고리의 다른 글
4장 부울 대수 응용- 최소항과 최대항의 전개 (0) | 2024.05.30 |
---|---|
3장 부울 대수 (계속) (0) | 2024.05.15 |
1장 수 체계와 변환 (0) | 2024.05.13 |